Question

設數(shù)列{a_n}的首項a₁=

1

2

，且a_n+1=

1 2 an(n為偶數(shù)) an+ 1 4 (n為奇數(shù))

，記b_n=a_2n-1-

1

4

（n∈N^*）b_n=a_2n-1-

1

4

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃；
（2）證明：{b_n}是等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{

3n+1

bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關系的確定

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）分別將n=2，3代入到a_n+1=

1 2 an(n為偶數(shù)) an+ 1 4 (n為奇數(shù))

，即可得到a₂，a₃的值
（2）因為bn=a2n-1-

1

4

，所以bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)，易證{b_n}是等比數(shù)列；
（3）bn=b1(

1

2

)n-1=(

1

2

)n+1，所以

3n+1

bn

=（3n+1）2n+1，應用錯位相消法求和．

解答： 解：
（1）a2=a1+

1

4

=

3

4

，a3=

1

2

a2=

3

8

（2）證明：
因為bn=a2n-1-

1

4

，所以bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)
即bn+1=

1

2

bn
而b1=a1-

1

4

=

1

4

≠0，所以{b_n}是以

1

4

為首項，公比為

1

2

的等比數(shù)列
（3）bn=b1(

1

2

)n-1=(

1

2

)n+1，所以

3n+1

bn

=（3n+1）2ⁿ⁺¹
所以Tn=(3×1+1)22+(3×2+1)23+…+(3n+1)2n+1
2Tn=(3×1+1)23+(3×2+1)24+…+(3n-2)2n+1+(3n+1)2n+2
兩式相減得：Tn=(3n+1)2n+2-3(23+24+…+2n+1)-16
即Tn=(3n-2)2n+2+8

點評：本題考查數(shù)列的判定，通項公式，和的計算，考查轉化構造，計算能力．本題中的數(shù)列求和法為錯位相消法．