Question

已知f（x）=cos²ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

，其中0＜ω＜2，且f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），若f（

x0

2

）=

3

5

，x₀∈（0，

π

2

），求cosx₀．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用倍角公式和兩角和差的正弦公式可得f（x）=sin(2ωx+

π

6

)．利用對(duì)稱(chēng)性f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），可得ω．進(jìn)而再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、兩角和差的正弦余弦公式、平方關(guān)系即可得出．

解答： 解：f（x）=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)
∵f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x），
∴f(

π

6

)=sin(

ωπ

3

+

π

6

)=±1．
又0＜ω＜2，∴

π

6

＜

ωπ

3

+

π

6

＜

5π

6

．
∴

ωπ

3

+

π

6

=

π

2

，
解得ω=1．
∴f（x）=sin(2x+

π

6

)．
∵f（

x0

2

）=

3

5

，x₀∈（0，

π

2

），
∴sin(x0+

π

6

)=

3

5

．
∴cos(x0+

π

6

)=±

1-sin2(x0+ π 6 )

=±

4

5

．
∵x₀∈（0，

π

2

），∴(x0+

π

6

)∈(

π

6

，

2π

3

)．
∴-

1

2

＜cos(x0+

π

6

)＜

3

2

．
∴cos(x0+

π

6

)=

4

5

．
∴cosx₀=cos[(x0+

π

6

)-

π

6

]=cos(x0+

π

6

)cos

π

6

+sin(x0+

π

6

)sin

π

6

=

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

3+4 3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)恒等變換、拆分角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．