Question

工廠需要圍建一個(gè)面積為512m² 的矩形堆料場(chǎng)，一過(guò)可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，我們知道，砌起的新墻的總長(zhǎng)度y（單位：m）是利用原有墻壁長(zhǎng)度x（單位：m）的函數(shù)．
（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，確定x的取值范圍：
（2）隨著x的變化，y的變化有何規(guī)律？
（3）堆料場(chǎng)的長(zhǎng)、寬比為多少時(shí)，需要砌起的新墻用的材料最��？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得矩形與墻面垂直的邊長(zhǎng)為

y-x

2

，由面積可得x和y的方程，變形可得函數(shù)解析式，由實(shí)際意義可得x的范圍；（2）求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，可得y的變化規(guī)律；（3）由（2）可得函數(shù)的極值點(diǎn)，可得最值點(diǎn)，可得所求．

解答： 解：（1）由題意可得矩形與墻面垂直的邊長(zhǎng)為

y-x

2

，
且

y-x

2

•x=512，變形可得y=x+

1024

x

，
由題意可得x＞0，
（2）由（1）知y=x+

1024

x

，求導(dǎo)數(shù)可得y′=1-

1024

x2

，
令1-

1024

x2

＜0可解得0＜x＜32，
故當(dāng)x∈（0，32）時(shí)，函數(shù)y=x+

1024

x

單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（32，+∞）時(shí)，函數(shù)y=x+

1024

x

單調(diào)遞增；
（3）由（2）知，函數(shù)y=x+

1024

x

在x=32處取到極小值，
唯一的極小值也是最小值，此時(shí)y=64，

y-x

2

=16，
故長(zhǎng)和寬分別為32和16時(shí)，用料最省．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，屬中檔題．