Question

6．已知函數(shù)$f（x）=x-\frac{1}{x^m}$，且$f（2）=\frac{3}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈[-5，-3]時，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（2）=$\frac{3}{2}$，求出m的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在閉區(qū)間的最大值即可．

解答 解：（1）由$f（2）=\frac{3}{2}$，得$2-\frac{1}{2^m}=\frac{3}{2}$，解得m=1，故$f（x）=x-\frac{1}{x}$．
（2）判斷：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且${x_1}＜{x_2}，f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}-\frac{1}{x_1}-（{{x_2}-\frac{1}{x_2}}）$
=$（{{x_1}-{x_2}}）（{1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}}）$，
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞），
∴${x_1}-{x_2}＜0，1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0，f（{x_1}）-f（{x_2}）＜0$，
∴f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）因為 f（x）是奇函數(shù)，f（x）在（0，+∞）上遞增，
所以f（x）在（-∞，0）上遞增，
當(dāng)x∈[-5，-3]時，函數(shù)f（x）的最大值為$f（{-3}）=-\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．