Question

已知函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）若k＞0且函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+

3

4

）上存在極值，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）如果當(dāng)x≥2時，不等式f（x）≥

a

x+2

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=-

lnx

x2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知條件能求出實數(shù)k的取值范圍．
（Ⅱ）不等式f（x）≥

a

x+2

，又x≥2，則

(x+2)(1+lnx)

x

≥a，由此利用構(gòu)造法及導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因為f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，則f′(x)=-

lnx

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值；
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+

3

4

），（其中k＞0）上存在極值，
所以

k＜1＜k+ 3 4 k＞0

，解得

1

4

＜k＜1．
（Ⅱ）不等式f（x）≥

a

x+2

，又x≥2，
則

(x+2)(1+lnx)

x

≥a，記g（x）=

(x+2)(1+lnx)

x

，
則g′(x)=

x-2lnx

x2

，
令h（x）=x-2lnx，則h′(x)=1-

2

x

，
∵x≥2，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（2）=2-2ln2＞0，
從而g′（x）＞0，故g（x）在[2，+∞）上也單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（2）=2（1+ln2），
∴a≤2（1+ln2）．

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．