Question

圖一是由三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正三角形和一個(gè)半圓及一個(gè)扇形組成的平面圖形，將其折起恰好圍成如圖二所示的幾何體，在該幾何體中，點(diǎn)O為半圓的圓心，E為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面ADE；
（2）求圖二所示幾何體的體積；
（3）求二面角A-BC-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接OA，OD，OE，由已知條件推導(dǎo)出BC⊥OE，BC⊥OD，從而B(niǎo)C⊥平面ODE，進(jìn)而B(niǎo)C⊥DE，同理可證BC⊥AD，由此能證明BC⊥平面ADE．
（Ⅱ）由題意知三棱錐D-ABC為棱長(zhǎng)是2的正四面體，作DH⊥平面ABC于點(diǎn)H，由點(diǎn)H為△ABC的重心，AH=

2

3

AO=

2

3

AB2-OB2

=

2 3

3

，圖二所示幾何體是由正四面體和半圓錐組成的，由此能求出該幾何體的體積．
（Ⅲ）二面角A-BC-E的大小等于二面角A-BC-D和二面角D-BC-E的大小的和，由此能求出二面角A-BC-E的余弦值．

解答： （1）證明：連接OA，OD，OE，
∵O為半圓圓心，E為BC中點(diǎn)，∴BC⊥OE，
∵BD=CD，OB=OC，∴BC⊥OD，
∵OE，OD?平面ODE，且OD∩OE=O，
∴BC⊥平面ODE，又DE?平面ODE，
∴BC⊥DE，同理可證BC⊥AD，
∵AD∩DE=D，且AD，DE⊆平面ADE，
∴BC⊥平面ADE．
（Ⅱ）解：由題意知三棱錐D-ABC為棱長(zhǎng)是2的正四面體，
作DH⊥平面ABC于點(diǎn)H，由點(diǎn)H為△ABC的重心，
∴AH=

2

3

AO=

2

3

AB2-OB2

=

2 3

3

，
在Rt△DAH中，DH=

DA2-AH2

=

22-( 2 3 3 )2

=

2 6

3

，
∵S△ABC=

3

4

×22=

3

，
∴VD-ABC=

1

3

•S△ABC•DH=

3

3

×

2 6

3

=

2 2

3

，
由題意知D-BEC為半圓錐，且其高OD=

DB2-OB2

=

3

，
底面半徑OB=1，
∴V_半圓錐=

1

2

×(

1

3

π•OB2•OD)=

3 π

6

，
∵該幾何體是由正四面體和半圓錐組成的，所以該幾何體的體積為：
V=

2 2

3

+

3 π

6

．
（Ⅲ）解：二面角A-BC-E的大小等于二面角A-BC-D和二面角D-BC-E的大小的和，
且由（1）知∠AOD，∠DOE分別是二面角A-BC-D和二面角D-BC-E的平面角，
由題意知∠DOE=

π

2

，在Rt△HOD中，sin∠AOD=

DH

OD

=

2 2

3

，
∴二面角A-BC-E的余弦值為cos（

π

2

+∠AOD）=-sin∠AOD=-

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．