Question

設數(shù)列{}的前n項和為，且方程有一根

為，

(1)  求，；

(2)  猜想數(shù)列{}的通項公式，并給出嚴格的證明．

Answer 1

解：(1)當n＝1時，有一根為＝－1，

于是(－1)²－(－1)－＝0，解得＝1/2.  

當n＝2時，有一根為＝，

于是(－1/2)²－(－1/2)－＝0，解得＝1/6 .

(2)由題設(－1)²－(－1)－＝0，

－2＋1－＝0    當n≥2時，＝－，

代入上式得－2＋1＝0.①.

由(1)得S₁＝＝1/2，＝＋＝1/2＋1/6＝2/3.

由①可得_s3＝3/4.由此猜想＝n/n＋1，n＝1,2,3，

下面用數(shù)學歸納法證明這個結論．(i)n＝1時已知結論成立．  

(ii)假設n＝k時結論成立，即＝k/k＋1，當n＝k＋1時，由①得＝12－Sk，

即＝k＋1/k＋2，故n＝k＋1時結論也成立

綜上，由(i)、(ii)可知＝n/n＋1對所有正整數(shù)n都成立．.