Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，恒成立，求整數的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 的最大值為1.

【解析】

（1）根據的不同范圍，判斷導函數的符號，從而得到的單調性；（2）方法一：構造新函數，通過討論的范圍，判斷單調性，從而確定結果；方法二：利用分離變量法，把問題變?yōu)?/span>，求解函數最小值得到結果.

（1）

當時， 在上遞增；

當時，令，解得：

在上遞減，在上遞增；

當時， 在上遞減

（2）由題意得：

即對于恒成立

方法一、令，則

當時， 在上遞增，且，符合題意；

當時， 時，單調遞增

則存在，使得，且在上遞減，在上遞增

由得：

又 整數的最大值為

另一方面，時，，

，

時成立

方法二、原不等式等價于：恒成立

令

令，則

在上遞增，又，

存在，使得

且在上遞減，在上遞增

又，

又，整數的最大值為