Question

設(shè)函數(shù)f₁（x）=

1

12

x4+aex（其中a是非零常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底），記f_n（x）=f_n-1′（x）（n≥2，n∈N^*）
（1）求使?jié)M足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f_n（x）=f_n-1（x）的最小整數(shù)n的值（n≥2，n∈N^*）；
（2）設(shè)函數(shù)g_n（x）=f₄（x）+f₅（x）+…+f_n（x），若對(duì)?n≥5，n∈N^*，y=g_n（x）都存在極值點(diǎn)x=t_n，求證：點(diǎn)A_n（t_n，g_n（t_n））（n≥5，n∈N^*）在一定直線上，并求出該直線方程；（注：若函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取得極值，則稱x₀為函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．）
（3）是否存在正整數(shù)k（k≥4）和實(shí)數(shù)x₀，使f_k（x₀）=f_k-1（x₀）=0且對(duì)于?n∈N^*，f_n（x）至多有一個(gè)極值點(diǎn)，若存在，求出所有滿足條件的k和x₀，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用新定義，代入計(jì)算，即可得出結(jié)論；
（2）g_n′（x）=2+（n-3）ae^x，y=g_n（x）都存在極值點(diǎn)x=t_n，可得g_n′（t_n）=0，g_n（t_n）=2t_n，即可得出結(jié)論；
（3）f_n（x）=ae^x=0（n≥6）無解，∴k≤5，分類討論，利用f_k（x₀）=f_k-1（x₀）=0且對(duì)于?n∈N^*，f_n（x）至多有一個(gè)極值點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f₁（x）=

1

12

x4+aex，f_n（x）=f_n-1′（x），
∴f₂（x）=

1

3

x3+ae^x，f₃（x）=x²+ae^x，f₄（x）=2x²+ae^x，f₅（x）=2+ae^x，
f₆（x）=ae^x，f₇（x）=ae^x，
∴使?jié)M足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f_n（x）=f_n-1（x）的最小整數(shù)n的值為7；
（2）g_n（x）=f₄（x）+f₅（x）+…+f_n（x）=（2x+2）+（n-3）ae^x，
∴g_n′（x）=2+（n-3）ae^x，
∵y=g_n（x）都存在極值點(diǎn)x=t_n，
∴g_n′（t_n）=0，
∴g_n（t_n）=2t_n，
∴點(diǎn)A_n（t_n，g_n（t_n））在y=2x上；
（3）f_n（x）=ae^x=0（n≥6）無解，∴k≤5；
①k=5，f₄（x）=f₅（x）=0，∴

2+aex0=0 2x0+aex0=0

，
∴x₀=1，a=-

2

e

．
a=-

2

e

時(shí)，f₆（x）＜0，f₅（x）=2+ae^x=2-2e^x-1單調(diào)遞減，且f₅（1）=0，
∴f₄（x）在（-∞，1）上增，在（1，+∞）上減，
∵f₄（1）=0，
∴f₄（x）≤0恒成立，
∴f₃（x）=單調(diào)遞減，而f₃（x）=x²-2e^x-1，f₃（-1）＞0，f₃（0）＜0，
∴?t∈（-1，0），f₃（t）=0在（-∞，t）上f₃（t）＜0，
∴f₂（t）=0在（-∞，t）上增，（t，+∞）上減，
∵f₃（t）＜0，
∴f₁（t）在R上單調(diào)遞減，
∴k=5，a=-

2

e

滿足題意；
②k=4時(shí)，f₄（x）=0，則x=0或2，
x=0時(shí)，f₄（0）=a=0（舍去）；
x=2時(shí)，f₄（2）=0，∴a=-

4

e2

，∴f₆（x）＜0
∴f₅（x）=2-4e^x-2單調(diào)遞減，且f₅（x）=0時(shí)，x=2-ln2，
∴f₄（x）在（-∞，2-ln2）上增，（2-ln2，+∞）上減，
∵f₄（2）=0，
∴?m＜2-ln2，使得在（-∞，m）上，f₄（x）＜0，在（m，2）上，f₄（x）＞0，在（2，+∞）上，f₄（x）＜0，
∴f₃（x）在（-∞，m）上減，在（m，2）上增，在（2，+∞）上減，
∴k≠4，
綜上，k=5，a=-

2

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．