Question

投擲質(zhì)地均勻的紅、藍(lán)兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記紅色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m，藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n．試就方程組

x+2y=2 mx+ny=3

解答下列問題．
（Ⅰ）求方程組只有一個(gè)解的概率；
（Ⅱ）求方程組只有正數(shù)解的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，事件（m，n）的基本事件有36個(gè)，方程組只有一個(gè)解，需滿足2m-n≠0，即n≠2m，而n=2m的事件有（1，2），（2，4），（3，6）共3個(gè)，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果．
（2）由題意知本題是一個(gè)古典概型，事件（m，n）的基本事件有36個(gè)，方程組只有正數(shù)解整理出結(jié)果，列舉出所有滿足條件的事件，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．

解答： 解：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，事件（m，n）的基本事件有36個(gè)，
由方程組

x+2y=2 mx+ny=3

可得

(2m-n)x=6-2n (2m-n)y=2m-3

方程組只有一個(gè)解，需滿足2m-n≠0，
即n≠2m，而n=2m的事件有（1，2），（2，4），（3，6）共3個(gè)，
所以方程組只有一個(gè)解的概率為P₁=1-

3

36

=

11

12

．
（2）方程組只有正數(shù)解，需2m-n≠0且

x= 6-2n 2m-n ＞0 y= 2m-3 2m-n ＞0

．
即

2m＞n a＞ 3 2 b＜3

或

2m＜n a＜ 3 2 b＞3

其包含的事件有13個(gè)：（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），
（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（1，5），（1，6）．
∴所求的概率為

13

36

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型，考查解方程組，是一個(gè)綜合題，概率問題往往同其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問題為載體，主要考查的是另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．