【題目】已知函數(shù).
(1)若,討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(2)設(shè),是否存在實(shí)數(shù)
,對(duì)任意
,
,
,有
恒成立?若存在,求出
的范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析(2)存在,.
【解析】
(1)先求導(dǎo),再討論
的取值范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)先假設(shè)存在實(shí)數(shù),
,所以可設(shè)
,由此能得到:
,根據(jù)單調(diào)性的定義,令
,要使函數(shù)
在
上是增函數(shù),只要函數(shù)在
上的導(dǎo)數(shù)值大于等于
即可,繼而求出
的范圍.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,
,
①若,則
,
,且只在
時(shí)取等號(hào),∴
在
上單調(diào)遞增;
②若,則
,而
,∴
,當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
及
時(shí),
,所以
在
上單調(diào)遞減,在
及
上單調(diào)遞增;
③若,則
,同理可得:
在
上單調(diào)遞減,在
及
上單調(diào)遞增;
綜上,當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞減,在
及
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞減,在
及
上單調(diào)遞增;
(2),
假設(shè)存在,對(duì)任意
,
,
,有
恒成立,
不妨設(shè),要使
恒成立,即必有
,
令,即
,
,
要使在
上為增函數(shù),
只要在
上恒成立,須有
,
,故存在
時(shí),對(duì)任意
,
,
,有
恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,直線
與函數(shù)
的圖象在
處相切,設(shè)
,若在區(qū)間[1,2]上,不等式
恒成立.則實(shí)數(shù)m( )
A. 有最大值 B. 有最大值e C. 有最小值e D. 有最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某書店今年5月上架10種新書,且它們的首月銷量(單位:冊(cè))情況為:100,50,100,150,150,100,150,50,100,100,頻率為概率,解答以下問題:
(1)若該書店打算6月上架某種新書,估計(jì)它首月銷量至少為100冊(cè)的概率;
(2)若某種最新出版的圖書訂購(gòu)價(jià)為10元/冊(cè),該書店計(jì)劃首月內(nèi)按12元/冊(cè)出售,第二個(gè)月起按8元/冊(cè)降價(jià)出售,降價(jià)后全部存貨可以售出.試確定,該書店訂購(gòu)該圖書50冊(cè),100冊(cè),還是150冊(cè)有利于獲得更多利潤(rùn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是,
,離心率是
,直線
與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M,N,以線段MN為直徑作圓P,圓心為P.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標(biāo);
(Ⅲ)設(shè)Q(x,y)是圓P上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)t變化時(shí),求y的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是拋物線
的焦點(diǎn),過點(diǎn)
且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交拋物線于
、
兩點(diǎn),交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)
,其中
,
.過點(diǎn)
作
軸的垂線交拋物線于點(diǎn)
,直線
交拋物線于點(diǎn)
.
(1)求的值;
(2)求四邊形的面積
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,
,其中
為正實(shí)數(shù),
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意給定的
,在區(qū)間
上總存在兩個(gè)不同的
,
,使得
成立?若存在,求出正實(shí)數(shù)
的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,幾何體中,
,
均為邊長(zhǎng)為2的正三角形,且平面
平面
,四邊形
為正方形.
(1)若平面平面
,求證:平面
平面
;
(2)若二面角為
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為正方形,側(cè)面
為正三角形,側(cè)面
底面
,
為
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的正弦值.
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