Question

已知等比數(shù)列{a_n}，a₂＞a₃=1，則使不等式（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_n-

1

an

）≥0成立的最大自然數(shù)n是（　�。�

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先根據(jù)a₂＞a₃=1判斷公比q的范圍，可得到當(dāng)n＞3時，有a_n-

1

an

＜0，再用q表示出a₁，…，a₅，進而得到（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+（a₄-

1

a4

）+（a₅-

1

a5

）=0，從而得到不等式（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_n-

1

an

）≥0成立的條件．

解答： 解：設(shè)公比為q，a₂＞a₃=1，則有1＞q＞0
可知n＞3時，有a_n-

1

an

＜0
a₃=a₁q²=1得a₁=

1

q2

則有a₅=a₁q⁴=q²=

1

a1

，同理有a₂=

1

a4

得（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+（a₄-

1

a4

）+（a₅-

1

a5

）=0
∴不等式（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_n-

1

an

）≥0成立的最大自然數(shù)n等于5
故選：B．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)．考查運算能力和遞推關(guān)系．