Question

（理）在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=1，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．
（1）探求AE等于何值時(shí)，直線D₁E與平面AA₁D₁D成45°角；
（2）點(diǎn)E移動(dòng)為棱AB中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面A₁DC₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：先找到直線D₁E與平面AA₁D₁D所成的平面角，放入直角三角形中，根據(jù)角的大小為45°，來(lái)求三角形中邊之間的關(guān)系，即可求出AE長(zhǎng)度．
解法二：利用空間向量來(lái)解，先建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，以及平面AA₁D₁D的法向量的坐標(biāo)，因?yàn)橹本�D₁E與平面AA₁D₁D成45°角，所以與平面AA₁D₁D的法向量成45°角，再用向量的數(shù)量積公式即可求出坐標(biāo)，進(jìn)而判斷E點(diǎn)位置．
（2）利用空間向量的知識(shí)，點(diǎn)到平面的距離可用公式來(lái)求，其中為平面的法向量，為E點(diǎn)到平面上任意一點(diǎn)的向量．
解答：解：（1）解法一：長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因?yàn)辄c(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，所以EA⊥平面AA₁D₁D，從而∠ED₁A為直線D₁E與平面AA₁D₁D所成的平面角，
Rt△ED₁A中，∠ED₁A=45°．
解法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA、DC、DD₁依次為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)D₁（0，0，1），平面AA₁D₁D的法向量為，設(shè)E（1，y，0），得，
由，得，
故
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA、DC、DD₁依次為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E（1，1，0），A₁（1，0，1），
C₁（0，2，1），
從而，，
設(shè)平面DA₁C₁的法向量為，由
令，
所以點(diǎn)E到平面A₁DC₁的距離為=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量法求直線與平面所成角，以及點(diǎn)到平面的距離．屬于立體幾何的常規(guī)題．