Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x=1時有極值；②圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為-3，且在該點處的切線與直線x=2y-4垂直．
（1）求f（1）的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一點處的切線斜率恒大于a²-a-2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出f（x）的表達(dá)式，即可求f（1）的值；
（2）求出g（x）的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，結(jié)合一元二次不等式的解法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
∵x=1時有極值，∴對稱軸為1，即-

b

2a

=-1，
由②知f（0）=c=-3，在（0，-3）處的切線斜率k=f′（0）=b，
又在該點處的切線與直線x=2y-4垂直，故b=-2，
解得a=1，則f（x）=x²-2x-3，
則f（1）=-4；
（2）若函數(shù)g（x）=f（lnx）=（lnx）²-2lnx-3，
令t=lnx，
則∵x∈（1，+∞），∴t∈（0，+∞），
∴f（t）=t²-2t-3，f′（t）=2t-2＞-2，
若函數(shù)g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一點處的切線斜率恒大于a²-a-2，
則f′（t）＞a²-a-2恒成立，即a²-a-2≤-2，
即a²-a≤0，解得0≤a≤1．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．