Question

若函數(shù)f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，則f（x）的最大值是（　�。�

A．9

B．14

C．15

D．16

Answer 1

分析：由題意可得函數(shù)y=f（x-2）的圖象關(guān)于y軸對稱，于是y=f（x-2）是偶函數(shù)．根據(jù)偶函數(shù)的定義，采用比較系數(shù)法求出a=8且b=15，由此可得f（x）=-x⁴-8x³-14x²+8x+15．利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）的單調(diào)性，可得f（x）在區(qū)間（-∞，-2-

5

）、（-2，-2+

5

）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-2-

5

，-2）、（-2+

5

，+∞）上是減函數(shù)，結(jié)合f（-2-

5

）=f（（-2+

5

）=16，即可得到f（x）的最大值．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，
∴將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移2個(gè)單位，得函數(shù)y=f（x-2）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，
∴f（x-2）=[1-（x-2）²][（x-2）²+a（x-2）+b]是偶函數(shù)．
設(shè)g（x）=f（x-2）=-x⁴+（8-a）x³+（12a-b-23）x²+（28-11a+4b）x+8a-4b，
∵g（-x）=g（x），
∴

8-a=0 28-11a+4b=0

，解之得a=8，b=15．
因此f（x）=（1-x²）（x²+8x+15）=-x⁴-8x³-14x²+8x+15，
求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=-4x³-24x²-28x+8．
令f'（x）=0，得x₁=-2-

5

，x₂=-2，x₃=-2+

5

．
當(dāng)x∈（-∞，-2-

5

）時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（-2-

5

，-2）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（-2，-2+

5

）時(shí)，f'（x）＞0； 當(dāng)x∈（-2+

5

，+∞）時(shí)，f'（x）＜0．
∴f（x）在區(qū)間（-∞，-2-

5

）、（-2，-2+

5

）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-2-

5

，-2）、（-2+

5

，+∞）上是減函數(shù)
又∵f（-2-

5

）=f（-2+

5

）=16，∴f（x）的最大值為16．
故選：D

點(diǎn)評：本題給出多項(xiàng)式函數(shù)的圖象關(guān)于x=-2對稱，求函數(shù)的最大值．著重考查了函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值求法等知識，屬于中檔題．