Question

已知f（x）=ax²+bx+c
（1）當(dāng)a=-1，b=2，c=4時(shí)，求f（x）≤1的解集；
（2）當(dāng)f（1）=f（3）=0，且當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f（x）≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）中把a(bǔ)，b，c代入解不等式即可，（2）先將函數(shù)設(shè)成兩根式，再定義新函數(shù)g（x），對(duì)新函數(shù)通過(guò)討論a的取值確定范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1，b=2，c=4時(shí)，
f（x）=-x²+2x+4≤1
即x²-2x-3≥0
∴x≤-1，或x≥3
∴f（x）≤1的解集為（-∞，-1]∪[3，+∞）
（2）由已知得f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立
即a（x-1）（x-3）-1≤0在x∈（1，3）恒成立
令g（x）=a（x-1）（x-3）-1
=ax²-4ax+3a-1
=a（x-2）²-a-1
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-1＜0在x∈（1，3）恒成立，符合；
②當(dāng)a＞0時(shí)，易知g（x）＜0在x∈（1，3）恒成立，符合
③當(dāng)a＜0時(shí)，則-a-1≤0，所以-1≤a＜0
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，解不等式問(wèn)題，滲透了分類討論思想，是一道中檔題．