Question

（文）定義區(qū)間（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的長度均為d-c，其中d＞c．
（1）已知函數(shù)y=|2^x-1|的定義域為[a，b]，值域為[0，

1

2

]，寫出區(qū)間[a，b]長度的最大值與最小值．
（2）已知函數(shù)f（x）=2sinx，將函數(shù)y=f（x）的圖象的每點橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，然后向左平移

π

8

個單位，再向上平移

3

個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少含有2014個零點，在所有滿足上述條件的[a，b]中，求區(qū)間[a，b]長度的最小值．
（3）已知函數(shù)f_M（x）的定義域為實數(shù)集D=[-2，2]，滿足f_M（x）=

x，x∈M -x，x∉M

，（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[-2，-1]，求F（x）=

fA∪B(x)

fA(x)+fB(x)+3

的值域所在區(qū)間長度的總和．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用數(shù)形結合求出即可；
（2）利用圖象的平移得到g（x）的解析式，令g（x）=0，求得零點x的值，問題得以解決．
（3）中求出兩區(qū)間長度作和即可．

解答： 解：（1）|2x-1|=

1

2

，解得x=-1或x=log2

3

2

，|2^x-1|=0，解得x=0，
畫圖可得：區(qū)間[a，b]長度的最大值為log₂3，最小值為log2

3

2

．

（2）g(x)=2sin(2(x+

π

8

))+

3

=2sin(2x+

π

4

)+

3

g(x)=0⇒sin(2x+

π

4

)=-

3

2

⇒x=kπ-

11π

24

或x=kπ-

7

24

π，k∈Z，
即g（x）的零點相離間隔依次為

π

6

和

5π

6

，
故若y=g（x）在[a，b]上至少含有2014個零點，則b-a的最小值為1007π-

5π

6

=1006

1

6

π．
（3）F(x)=

x 3 ，x∈A∪B x 2x-3 ，x∈(-1，1)

當x∈A∪B，F(x)∈[-

2

3

，-

1

3

]∪[

1

3

，

2

3

]，
當x∈（-1，1），F(x)∈(-1，

1

5

)，
所以x∈[-2，2]時，F(x)∈(-1，

1

5

)∪[

1

3

，

2

3

]
所以值域區(qū)間長度總和為

23

15

．

點評：本題屬于函數(shù)零點的判定定理的應用問題，本題考查數(shù)形結合的思想，是同類問題求解中難度較大的題型