已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求函數(shù)
的極值;
(Ⅱ)若在
有唯一的零點
,求
的取值范圍;
(Ⅲ)若,設(shè)
,求證:
在
內(nèi)有唯一的零點
,且對(Ⅱ)中的
,滿足
.
解法一:(Ⅰ)當時,
,
,
.
由,令
,得
.
當變化時,
,
的變化如下表:
| | | |
| | 0 | |
| | 極小值 | |
故函數(shù)在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增,
有極小值
,無極大值.
(Ⅱ),
令,得
,設(shè)
.
則在
有唯一的零點
等價于
在
有唯一的零點
當時,方程的解為
,滿足題意;
當時,由函數(shù)
圖象的對稱軸
,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,
且,
,所以滿足題意;
當,
時,
,此時方程的解為
,不符合題意;
當,
時,由
,
只需,得
.
綜上,.
(說明:未討論扣1分)
(Ⅲ)設(shè),則
,
,
,
由,故由(Ⅱ)可知,
方程在
內(nèi)有唯一的解
,
且當時,
,
單調(diào)遞減;
時,
,
單調(diào)遞增.
又,所以
.
取,
則
,
從而當時,
必存在唯一的零點
,且
,
即,得
,且
,
從而函數(shù)在
內(nèi)有唯一的零點
,滿足
.
解法二:(Ⅰ)同解法一;
(Ⅱ),
令,由
,得
設(shè),則
,
,
問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)
的圖象在
恰有一個交點問題.
又當時,
單調(diào)遞增,
故直線與函數(shù)
的圖象恰有一個交點,當且僅當
(Ⅲ)同解法一.
(說明:第(Ⅲ)問判斷零點存在時,利用時,
進行證明,扣1分)
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知f(x)=x2+px+q.
(1)求證:f(1)-2f(2)+f(3)=2;
(2)求證:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知函數(shù),其中
,則下列結(jié)論中正確的是( )
A.的一條對稱軸是
B.
在
上單調(diào)遞增
C.是最小正周期為
的奇函數(shù)
D.將函數(shù)的圖象左移
個單位得到函數(shù)
的圖象
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