Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）若在有唯一的零點，求的取值范圍；

（Ⅲ）若，設(shè)，求證：在內(nèi)有唯一的零點，且對（Ⅱ）中的，滿足．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）當時，，，

．

由，令，得．

當變化時，，的變化如下表：

		0
		極小值

故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

有極小值，無極大值．

（Ⅱ），

令，得，設(shè)．

則在有唯一的零點等價于在有唯一的零點

當時，方程的解為，滿足題意；

當時，由函數(shù)圖象的對稱軸，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

且，，所以滿足題意；

當，時，，此時方程的解為，不符合題意；

當，時，由，

只需，得．

綜上，．

（說明：未討論扣1分）

（Ⅲ）設(shè)，則，

，

 ，

由，故由（Ⅱ）可知，

方程在內(nèi)有唯一的解，

且當時，，單調(diào)遞減；

時，，單調(diào)遞增．

又，所以．

取，

則

，

從而當時，必存在唯一的零點，且，

即，得，且，

從而函數(shù)在內(nèi)有唯一的零點，滿足．

解法二：（Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ），

令，由，得

設(shè)，則，，

問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在恰有一個交點問題．

又當時，單調(diào)遞增，

故直線與函數(shù)的圖象恰有一個交點，當且僅當

（Ⅲ）同解法一．

（說明：第（Ⅲ）問判斷零點存在時，利用時，進行證明，扣1分）