Question

已知函數(shù).

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對任意的都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）當時，，求出導(dǎo)函數(shù)，所以曲線在處的切線斜率，又，進而得出切線方程；

（2）易得函數(shù)的定義域為，對函數(shù)進行求導(dǎo)得，令并在定義域范圍內(nèi)解之，即，再對其分和進行分類討論，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間在定義域內(nèi)的補集即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

由題意得：對任意，使得恒成立，只需在區(qū)間內(nèi)，，對進行分類討論，從而求出的取值范圍.

(1)時,

曲線在點處的切線方程

(2)

①當時, 恒成立,函數(shù)的遞增區(qū)間為

②當時,令,解得或（舍去）

x	( 0, )
f’(x)	-		+
f(x)	減		增

 

所以函數(shù)的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為

(3)由題意知對任意的,,則只需對任意的,

①當時,在上是增函數(shù),所以只需 ，而 ，所以滿足題意;

②當時,,在上是增函數(shù), 所以只需

而， 所以滿足題意;

③當時,,在上是減函數(shù),上是增函數(shù),所以只需即可 ，而 ，從而不滿足題意;

綜合①②③實數(shù)的取值范圍為.

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值中的應(yīng)用.