Question

如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn)．點(diǎn)N在線段PD上，且

PN

=

3

4

PD

．
（1）求證：AM⊥平面PCD；
（2）求直線BD與平面PCD所成角的正弦值的大小；
（3）求cos＜

AN

，

BD

＞．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定,空間向量的夾角與距離求解公式

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，以AP所在直線為z軸，AB，AD所在直線為x，y軸，求出點(diǎn)A，D，P，B，C，M的坐標(biāo)，得到向量AM，PD，CD的坐標(biāo)，由向量的垂直的條件，即可證得；
（2）求出向量BD的坐標(biāo)，由向量的夾角公式，即可求出直線BD與平面PCD所成角的正弦值的大��；
（3）求出向量PN，AN的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的夾角公式，即可求cos＜

AN

，

BD

＞．

解答： （1）證明：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，以AP所在直線為z軸，AB，AD所在直線為x，y軸，
則A（0，0，0）、D（0，4，0）、P（0，0，4）．B（2，0，0）
中點(diǎn)M（0，2，2），C（2，4，0）

AM

=（0，2，2），

PD

=（0，4，-4），

CD

=（-2，0，0），
則

AM

•

PD

=0+8-8=0，

AM

•

CD

=0，即AM⊥PD，AM⊥CD，
則AM⊥平面PCD；
（2）解：設(shè)直線BD與平面PCD所成的角為θ，
由（1）知面PCD的法向量可取為

AM

=(0，2，2)，

BD

=（-2，4，0）
則sinθ=cos?

BD

，

AM

＞=

10

5

；
（3）解：由已知

PN

=

3

4

PD

=

3

4

(0，4，-4)=(0，3，-3)

AN

=

AP

+

PN

=(0，3，1)，
cos＜

AN

，

BD

＞=

AN • BD

| AN |•| BD |

=

12

10 • 20

=

3 2

5

．

點(diǎn)評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，直線與平面所成的角，異面直線所成的角，考查運(yùn)用空間向量證明線面位置關(guān)系，求空間角，屬于中檔題．