Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

+b（x≠0），其中a，b∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式{a_n}在n上恒成立，求S_n的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義即可求得；
（2）利用判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對a分類討論；
（3）由題意得

f( 1 4 )≤10 f(1)≤10

即可得出結論．

解答： 解：（1）f′（x）=1-

a

x2

，由導數(shù)的幾何意義得f′（2）=3，于是a=-8，
由切點P（2，f（2））在直線y=3x+1上可得-2+b=7，
解得b=9，所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x-

8

x

+9．-------（4分）
（2）f′（x）=1-

a

x2

，
當a₁=1時，顯然f′（x）＞0（x≠0），這時f（x）在（-∞，0），{b_n}內(nèi)是增函數(shù)；
當a＞0時，令f′（x）=0，解得x+±

a

；
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞ a ）	- a	（- a ，0）	（0， a ）	a	（ a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以f（x）在（-∞，-

a

），（

a

，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-

a

，0），（0，

a

）內(nèi)是減函數(shù)．--------（9分）
（3）由（2）知，f（x）在b₁=1上的最大值為f（

1

4

）與f（1）中的較大者，
對于任意的R，不等式f（x），g（x）在h（x）=kx+b上恒成立，
當且僅當

f( 1 4 )≤10 f(1)≤10

即

b≤ 39 4 -4a b≤9-a

，
對任意的x∈R成立，從而得滿足條件的b的取值范圍是f（x）≥h（x）≥g（x）----（14分）

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值等知識，考查學生的運算求解能力，屬于難題．