Question

已知拋物線C：y＝x².過點M(1,2)的直線l交C于A，B兩點．拋物線C在點A處的切線與在點B處的切線交于點P.

(1)若直線l的斜率為1，求|AB|的值；

(2)求△PAB的面積的最小值．

Answer 1

解：(1)設點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由題意知，直線l的方程為y＝x＋1，由消去y解得，

所以|AB|＝＝.

(2)易知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝k(x－1)＋2，設點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由消去y整理得，

x²－kx＋k－2＝0，

x₁＋x₂＝k，x₁x₂＝k－2，

又y′＝(x²)′＝2x，所以拋物線y＝x²在點A，B處的切線方程分別為y＝2x₁x－x，y＝2x₂x－x.

得兩切線的交點P.所以點P到直線l的距離d＝.

設△PAB的面積為S，所以S＝|AB|·d＝³≥2(當k＝2時取得等號)．

所以△PAB面積的最小值為2.