【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的極值點(diǎn);
(2)當(dāng)時,當(dāng)函數(shù)
恰有三個不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時,無極值點(diǎn);當(dāng)
時,有極大值點(diǎn)
,無極小值點(diǎn);(2)
【解析】
(1)求出,對
或
是否恒成立做為分類討論標(biāo)準(zhǔn),若不恒成立,求出單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出極值,得出結(jié)論;
(2)求出,要使函數(shù)
有三個零點(diǎn),
有兩個大于零的解,求出
的范圍,設(shè)
為
兩個大于零的解,且有
,不妨設(shè)
,而
,只需求出
在
各存在一個零點(diǎn)
的范圍,即可求出結(jié)論.
(1)因?yàn)?/span>所以
,
所以,
當(dāng)時,
,所以函數(shù)
無極值點(diǎn);
當(dāng)時,令
,解得
.
由,解得
;由
,解得
.
故函數(shù)有極大值點(diǎn)
,無極小值點(diǎn).
綜上,當(dāng)時,函數(shù)
無極值點(diǎn);
當(dāng)時,函數(shù)
有極大值點(diǎn)
,無極小值點(diǎn).
(2)當(dāng)時,
,
所以,
設(shè),則
①當(dāng)即
時,
,所以
在
單調(diào)遞減,
所以不可能有三個不同的零點(diǎn);
②當(dāng)即
時,
有兩個零點(diǎn)
,
,
所以又因?yàn)?/span>
開口向下,
當(dāng)時,
,所以
在
上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,
,所以
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
,所以
在
上單調(diào)遞減.
因?yàn)?/span>,又
,所以
,
令
則.
所以在
單調(diào)遞增,
所以,即
.
由零點(diǎn)存在性定理知,在區(qū)間
上有唯一的一個零點(diǎn)
.
又,所以
.
所以,所以
在區(qū)間
上有唯一的一個零點(diǎn)
,
故當(dāng)時,
存在三個不同的零點(diǎn)
.
故實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某市建有貫穿東西和南北的兩條垂直公路,
,在它們交叉路口點(diǎn)
處的東北方向建有一個荷花池,荷花池的外圍是一條環(huán)形公路,荷花池中的固定觀景臺
位于兩條垂直公路的角平分線
上,
與環(huán)形公路的交點(diǎn)記作
.游客游覽荷花池時,需沿公路
先到達(dá)環(huán)形公路
處.為了分流游客,方便游客游覽荷花池,計(jì)劃從靠近公路
,
的環(huán)形公路上選
,
兩處(
,
關(guān)于直線
對稱)修建直達(dá)觀景臺
的玻璃棧道
,
.以
,
所在的直線為
,
軸建立平面直角坐標(biāo)系
,靠近公路
,
的環(huán)形公路可用曲線
近似表示,曲線
符合函數(shù)
.
(1)若百米,點(diǎn)
到
的垂直距離為1百米,求玻璃棧道
的總長度;
(2)若要使得玻璃棧道的總長度最小為
百米,求觀景臺
的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,(其中常數(shù)
).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
的極值;
(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩點(diǎn)分別在
軸和
軸上運(yùn)動,且
,若動點(diǎn)
滿足
.
(1)求出動點(diǎn)的軌跡
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)動直線與曲線
有且僅有一個公共點(diǎn),與圓
相交于兩點(diǎn)
(兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上),求直線
的斜率之積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的曲線,它是由德國機(jī)械工程專家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn),其作法是:以等邊三角形每個頂點(diǎn)為圓心,以邊長為半徑,在另兩個頂點(diǎn)間作一段弧,三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.如圖中的兩個勒洛三角形,它們所對應(yīng)的等邊三角形的邊長比為,若從大的勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小勒洛三角形內(nèi)的概率為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:且
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
,若圓
的一條切線與橢圓
有兩個交點(diǎn)
,且
.
(1)求圓的方程;
(2)已知橢圓的上頂點(diǎn)為
,點(diǎn)
在圓
上,直線
與橢圓
相交于另一點(diǎn)
,且
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);
(2)若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.
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