Question

在等差數(shù)列{a_n}中，滿足3a₅=5a₈，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）若a₁＞0，當S_n取得最大值時，求n的值；
（Ⅱ）若a₁=-46，記b_n=，求b_n的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），故d=-a₁．由此能求出當S_n取得最大值時n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a₁=-46，得d=-×（-46）=4，故a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，S_n=-46n+×4=2n²-48n．
由此能求出b_n的最小值．
解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，則
由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），∴d=-a₁．
∴S_n=na₁+×（-a₁）=-a₁n²+a₁n=-a₁（n-12）²+a₁．
∵a₁＞0，∴當n=12時，S_n取得最大值．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a₁=-46，得d=-×（-46）=4，
∴a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，
S_n=-46n+×4=2n²-48n．
∴b_n===2n+-52≥2-52=-32，
當且僅當2n=，即n=5時，等號成立．
故b_n的最小值為-32．…（12分）
點評：本題考查等差數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．