Question

已知函數f（x）=

-4x+2+3a，x＜- 1 2 4+3a，- 1 2 ≤x＜ 3 2 4x-2+3a，x≥ 3 2

（Ⅰ）當a=0時，寫出不等式f（x）≥6的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥a²對一切實數x恒成立時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,分段函數的應用

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）將a=0代入解析式，得到關于x的一元一次不等式解之即可，注意自變量的范圍；
（2）只要求出f（x）的最小值，使最小值≥a²即可．

解答： 解：（Ⅰ）當a=0時，不等式為f（x）=

-4x+2，x＜- 1 2 4，- 1 2 ≤x≤ 3 2 4x-2，x＞ 3 2

，（1分）
不等式f（x）≥6，x＜-

1

2

時，-4x+2≥6，∴x≤-1（2分），
x＞

3

2

時，4x-2≥6，∴x≥2（4分）
∴f（x）≥6的解集是{x|x≤-1或x≥2}；（5分）
所以，不等式的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞）（6分）
（Ⅱ）要使不等式f（x）≥a²對一切實數x恒成立，只要f（x）的最小值≥a²即可；函數f（x）=

-4x+2+3a，x＜- 1 2 4+3a，- 1 2 ≤x＜ 3 2 4x-2+3a，x≥ 3 2

的最小值是4+3a（9分）
所以4+3a≥a²⇒-1≤a≤4（12分）
所以使不等式f（x）≥a²對一切實數x恒成立時的實數a的取值范圍是-1≤a≤4．

點評：本題考查了分段函數與不等式結合的問題；關于恒成立問題，很多是求函數的最值問題，屬于中檔題．