如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,每個(gè)側(cè)面均為正方形,邊長(zhǎng)為1,D為底邊AB的中點(diǎn),E為側(cè)棱CC1的中點(diǎn),AB1與A1B的交點(diǎn)為O.
(Ⅰ)求證:CD∥平面A1EB;
(Ⅱ)求證:AB1⊥平面A1EB;
(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面A1EB的距離.

【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)AB1和A1B的交點(diǎn)為O,根據(jù)EC∥OD,且EC=OD,得到四邊形ECOD為平行四邊形,故EO∥CD,CD∥平面A1BE.
(Ⅱ) 證明CD⊥平面A1ABB1 ,可得EO⊥平面A1ABB1,故有EO⊥AB1 ,由正方形的兩對(duì)角線的性質(zhì)可得 AB1⊥A1B,
 從而證得 AB1⊥平面A1BE.
 (Ⅲ)點(diǎn)C到平面A1EB的距離等于點(diǎn)D到平面A1EB的距離,由(Ⅱ)知,平面A1EB⊥平面ABB1A1,易求距離為 =,運(yùn)算得到結(jié)果.
解答:證明:(Ⅰ)設(shè)AB1和A1B的交點(diǎn)為O,連接EO,連接OD.因?yàn)镺為AB1的中點(diǎn),D為AB的中點(diǎn),所以O(shè)D∥BB1,
.  又E是CC1中點(diǎn),則EC∥BB1,即EC∥OD,且EC=OD,
則四邊形ECOD為平行四邊形,所以EO∥CD. 又CD?平面A1BE,EO?平面A1BE,則CD∥平面A1BE.

(Ⅱ) 因?yàn)槿庵鱾?cè)面都是正方形,所以BB1⊥AB,BB1⊥BC,所以BB1⊥平面ABC.
因?yàn)镃D?平面ABC,所以BB1⊥CD. 由已知得AB=BC=AC,所以CD⊥AB,所以CD⊥平面A1ABB1
由(Ⅰ)可知EO∥CD,所以EO⊥平面A1ABB1,所以EO⊥AB1
因?yàn)閭?cè)面是正方形,所以AB1⊥A1B.  又EO∩A1B=O,EO?平面A1EB,A1B?平面A1EB,所以AB1⊥平面A1BE.
(Ⅲ)點(diǎn)C到平面A1EB的距離等于點(diǎn)D到平面A1EB的距離,由(Ⅱ)知,平面A1EB⊥平面ABB1A1,
易求距離為 ==

點(diǎn)評(píng):本題考查證明線面平行、線面垂直的方法,直線和平面平行的判定定理以及直線和平面垂直的判定定理 的應(yīng)用,
判斷點(diǎn)C到平面A1EB的距離等于點(diǎn)D到平面A1EB的距離,是解題的難點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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5
,則此三棱柱的側(cè)視圖的面積為( �。�

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(2013•通州區(qū)一模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,AB=2
2
,CC1=4,M是棱CC1上一點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BC⊥AM;
(Ⅱ)若N是AB上一點(diǎn),且
AN
AB
=
CM
CC1
,求證:CN∥平面AB1M;
(Ⅲ)若CM=
5
2
,求二面角A-MB1-C的大�。�

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精英家教網(wǎng)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC⊥BC,E分別在線段B1C1上,B1E=3EC1,AC=BC=CC1=4.
(1)求證:BC⊥AC1;
(2)試探究:在AC上是否存在點(diǎn)F,滿足EF∥平面A1ABB1,若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)F的位置,并給出證明;若不存在,說(shuō)明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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