Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+4）x-2a²+5a+3（a∈R）．
（1）當a=3時，求函數(shù)f（x）零點；
（2）若方程f（x）=0的兩個實數(shù)根都在區(qū)間（-1，3），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：本題（1）當a=3時，解二次方程f（x）=0，可得函數(shù)f（x）零點，即本題結論；
（2）方程f（x）=0的兩個實數(shù)根都在區(qū)間（-1，3），可以利用韋達定理，也可以利用函數(shù)的圖象特征去研究，得到相應的關系式，解不等式，得本題結論．

解答： 解：（1）當a=3時，
f（x）=x²-（a+4）x-2a²+5a+3=x²-7x．
令f（x）=0，
x²-7x=0，-1
∴x=0或x=7．
∴函數(shù)f（x）零點x=0，x=7．
（2）∵方程f（x）=0的兩個實數(shù)根都在區(qū)間（-1，3），
∴

f(-1)＞0 f(3)＞0 -1＜- -(a+4) 2 ＜3 f( a+4 2 )≤0

，
∴

-1＜a＜4 0＜a＜1 -6＜a＜2 (3a-2)2≥0

，
∴0＜a＜1．
∴實數(shù)a的取值范圍（0，1）．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，本題有一定的計算量，但思維難度不大，屬于基礎題．