Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=2，AB=4，AA₁=2

6

，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AA₁的中點(diǎn)．　
（1）求證：EF∥CD₁；
（2）求異面直線D₁F與BD所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（1）連結(jié)A₁B，利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)證出四邊形BCD₁A₁是平行四邊形，可得CD₁∥A₁B，△A₁BA中利用中位線定理，得到A₁B∥EF，從而證出EF∥CD₁；
（2）連結(jié)B₁D₁、B₁F，可得四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，從而∠B₁D₁F（或其補(bǔ)角）就是異面直線D₁F與BD所成的角．△B₁D₁F中算出各條邊的長(zhǎng)度，再利用余弦定理算出cos∠B₁D₁F=

5

4

，即得異面直線D₁F與BD所成的角的大小．

解答：解：（1）連結(jié)A₁B，
∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC

∥

.

A₁D₁，
∴四邊形BCD₁A₁是平行四邊形，可得CD₁∥A₁B
∵△A₁BA中，EF是中位線，
∴A₁B∥EF，可得EF∥CD₁；
（2）連結(jié)B₁D₁、B₁F
∵四邊形BB₁D₁D是平行四邊形
∴BD∥B₁D₁，
可得∠B₁D₁F（或其補(bǔ)角）就是異面直線D₁F與BD所成的角
∵△B₁D₁F中，D₁F=

FA12+A1D12

=

10

B₁F=

A1B12+FA12

=

22

，B₁D₁=4

2

∴cos∠B₁D₁F=

B 1D12+D1F2-B1F2

2B1D1•D1F

=

5

4

即異面直線D₁F與BD所成的角的大小為arccos

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題在長(zhǎng)方體中求證線線平行，并求異面直線所成角大�。�著重考查了長(zhǎng)方體的性質(zhì)、異面直線所成角的定義與求法等知識(shí)，屬于中檔題．