Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x-3，若x∈[t，t+2]，求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）=x²-2x-3的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，分類(lèi)討論定區(qū)間[t，t+2]與對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²-2x-3的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，
①當(dāng)t+2≤1，即t≤-1時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+2]上為減函數(shù)，
故當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取最大值-t²-3，當(dāng)x=t+2時(shí)，函數(shù)取最小值t²+2t-3，
②t+1≤1＜t+2，即-1＜t≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，1]上為減函數(shù)，在[1，t+2]為增函數(shù)，
故當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取最大值-t²-3，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值-4，
③t≤1＜t+1，即0＜t≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，1]上為減函數(shù)，在[1，t+2]為增函數(shù)，
故當(dāng)x=t+2時(shí)，函數(shù)取最大值t²+2t-3，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值-4，
④當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+2]上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=t+2時(shí)，函數(shù)取最大值t²+2t-3，當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取最小值-t²-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．