Question

設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當x∈[-2，0]時，f（x）=（

2

2

）^x-1，若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)，函數(shù)y=f（x）-log_a（x+2），（a＞0，a≠1）恰有1個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（1，4）
• B、（4，+∞）
• C、（

  1

  4

  ，1）∪（4，+∞）
• D、（0，1）∪（1，4）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：數(shù)形結(jié)合法,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），推出函數(shù)f（x）是以4為最小正周期的函數(shù)，結(jié)合題意畫出在區(qū)間（-2，6）內(nèi)函數(shù)f（x）和y=log_a（x+2）的圖象，注意對a討論，分a＞1，0＜a＜1，結(jié)合圖象即可得到a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
又f（2+x）=f（2-x），
即f（x+4）=f（-x）
∴f（x+4）=f（x），
則函數(shù)f（x）是以4為最小正周期的函數(shù)，
∵當x∈[-2，0]時，f（x）=（

2

2

）^x-1，
f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴當x∈[0，2]時，f（x）=（

2

2

）^-x-1，
結(jié)合題意畫出函數(shù)f（x）
在x∈（-2，6）上的圖象
與函數(shù)y=log_a（x+2）的圖象，
結(jié)合圖象分析可知，
要使f（x）與y=log_a（x+2）的圖象，
恰有1個交點，
則有0＜a＜1或

a＞1 loga(2+2)＞1

，
解得0＜a＜1或1＜a＜4，
即a的取值范圍是（0，1）∪（1，4）．
故選：D．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性及其運用，同時考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，以及對底數(shù)a的討論，是一道中檔題．