Question

【題目】已知函數

（1）當時，求的單調區(qū)間；

（2）設，且函數的解析式可以表示成，當函數有且只有一個零點時，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上為減函數，在上為增函數；（2）或

【解析】

（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，即可求出函數的單調區(qū)間；

（2）先化簡可得g（t）＝et﹣at，令g（t）＝et﹣at＝0，分離參數，構造函數，利用導數求其最值即可求出a的取值范圍．

（1）函數的定義域為，當時，f（x）＝xex﹣e（lnx+x），

，故0＜x＜1時，f（x）＜0，x＞1時，f（x）＞0，

故f（x）的減區(qū)間是（0，1），增區(qū)間是（1，+∞）；

（2）∵t＝lnx+x在（0，+∞）上單調遞增，且t∈R，∴et＝elnx+x＝xex，

∴f（x）＝xex﹣a（lnx+x）＝et﹣at＝g（t），∴g（t）＝et﹣at，t∈R，

∴g（t）＝et﹣at＝0，

當t＝0時，不滿足，

當t≠0， ，令 ，∴ ，

當t＜0或0＜t＜1時，h（t）＜0，函數h（t）在（﹣∞，0），（0，1）上單調遞減，

當t＞1時，h（t）＞0，函數h（t）在（1，+∞）上單調遞增，

當t＞0時，h（t）min＝h（1）＝e，當t→0或t→+∞時，h（t）→+∞，

當t＜0時，h（t）在（﹣∞，0）上單調遞減，當t→﹣∞時，h（t）→0，

∵函數g（t）有且只有一個零點，∴a＜0或a＝e．