Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx+

π

6

）（ω＞0）直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（α）=

1

3

，α∈[-

π

3

，

π

6

]，求f（α+

π

6

）的值；
（3）若關于x的方程f（x+

π

6

）+mcosx+3=0在x∈（0，

π

2

）有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得函數(shù)的最小正周期T=2×

π

2

=

2π

2ω

，解得ω=1，可得f（x）=sin（2x+

π

6

）．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）由f（α）=sin（2α+

π

6

）=

1

3

，2α+

π

6

∈[-

π

2

，

π

2

]，求得cos（2α+

π

6

）的值，再由f（α+

π

6

）=sin（2α+

π

2

）=cos2α=cos[（2α+

π

6

）-

π

6

]，利用兩角差的余弦公式計算求得結果．
（3）由題意可得即2cos²x+mcosx+2=0，在x∈（0，

π

2

）有實數(shù)解．令cosx=t∈（0，1），則2t²+mt+2=0在（0，1）上有解．令g（t）=2t²+mt+2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得m的范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（2ωx+

π

6

）（ω＞0），直線x=x₁、x=x₂是y=f（x）圖象的兩條對稱軸，
且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

，
∴函數(shù)的最小正周期T=2×

π

2

=

2π

2ω

，解之得ω=1，故f（x）=sin（2x+

π

6

）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）∵f（α）=sin（2α+

π

6

）=

1

3

，α∈[-

π

3

，

π

6

]，∴2α+

π

6

∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴cos（2α+

π

6

）=

2 2

3

，
求得 f（α+

π

6

）=sin（2α+

π

2

）=cos2α=cos[（2α+

π

6

）-

π

6

]=cos（2α+

π

6

）cos

π

6

+sin（2α+

π

6

）sin

π

6

=

2 3

3

×

3

2

+

1

2

×

1

3

=

2 6 +1

6

．
（3）關于x的方程f（x+

π

6

）+mcosx+3=0，即 cos2x+mcosx+3=0，
即2cos²x+mcosx+2=0，在x∈（0，

π

2

）有實數(shù)解．
令cosx=t∈（0，1），則2t²+mt+2=0在（0，1）上有解．
令g（t）=2t²+mt+2，∵△=m²-16≥0，∴m≥4，或m≤-4．
由于對稱軸為t=-

m

4

≥1，或 t=-

m

4

≤-1，
∵g（0）=2＞0，∴由圖象可得 g（1）=m+4＜0，解得m＜-4．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角恒等變換，二次函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于中檔題．