Question

某種平面分形圖如圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120°；二級分形圖是在一級分形圖的每一條線段的末端再生成兩條長度均為原來

1

3

的線段；且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°；…；依此規(guī)律得到n級分形圖，則
（Ⅰ）四級分形圖中共有

 

條線段；
（Ⅱ）n級分形圖中所有線段的長度之和為

 

．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）當n=1時，共有3條線段；當n=2時，共有3+3×（3-1）=9條線段；當n=3時，共有3+3×（3-1）+3×2²=21條線段；由此規(guī)律可得：當n=4時，共有3+3×（3-1）+3×2²+3×2³．
（II）由（I）可得：n級分形圖中所有線段的長度之和=3+

1

3

×3×2+

1

32

×3×2²+…+

1

3n-1

×3×2n-1
=3[1+

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-1]，利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（I）當n=1時，共有3條線段；
當n=2時，共有3+3×（3-1）=9條線段；
當n=3時，共有3+3×（3-1）+3×2²=21條線段；
當n=4時，共有3+3×（3-1）+3×2²+3×2³=45條線段．
（II）由（I）可得：n級分形圖中所有線段的長度之和
=3+

1

3

×3×2+

1

32

×3×2²+…+

1

3n-1

×3×2n-1
=3[1+

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-1]
=3×

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=9[1-(

2

3

)n]．
故答案分別為：45，9[1-(

2

3

)n]．

點評：本題考查了通過觀察、方向、猜想、歸納數列通項公式的方法，考查了等比數列的前n項函數公式，考察了推理能力和計算能力，屬于難題．