Question

四棱錐P—ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，側(cè)棱，，M、N兩點(diǎn)分別在側(cè)棱PB、PD上，.

(1)求證：PA⊥平面MNC。

(2)求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線面垂直、二面角等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生用向量法解決立體幾何的能力，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力.第一問，連結(jié)AC、BD交于O，則在三角形APC中可知，在三角形PBO中，利用三邊長，可知，利用線面垂直的判定得平面ABCD，所以建立空間直角坐標(biāo)系，得到各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到和平面MNC的法向量的坐標(biāo)，可求出//，所以平面MNC；第二問，利用平面NPC的法向量垂直于和得到法向量的坐標(biāo)，利用夾角公式得到夾角的余弦值.

試題解析：設(shè)菱形對(duì)角線交于點(diǎn)，易知且

又.由勾股定理知，

又

平面 3分

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，

，，

， 5分

⑴顯然，，平面的法向量

，由∥，知平面 8分

⑵設(shè)面的法向量為 由

取，得 10分

所以平面與平面的夾角的余弦值為. 12分

考點(diǎn)：1.向量法；2.夾角公式；3.線面垂直的判定.