Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=-

1

2

a_n+

3

2

（n∈N^*），a₁=4，S_n是其前n項(xiàng)和，則滿足不等式|S_n-n-2|＜

1

2014

的最小正整數(shù)n的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的前n項(xiàng)和，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵a_n+1=-

1

2

a_n+

3

2

（n∈N^*），
∴a_n+1-1=-

1

2

（a_n-1）（n∈N^*），
即{a_n-1}是以a₁-1=4-1=3為首項(xiàng)，公比q=-

1

2

，的等比數(shù)列，
則a_n-1=3•（-

1

2

）^n-1，
則a_n=3•（-

1

2

）^n-1+1，
則S_n=n+

3(1-(- 1 2 )n)

1+ 1 2

=n+2-2（-

1

2

）ⁿ，
則|S_n-n-2|=|2•（-

1

2

）ⁿ|=2•(

1

2

)n=(

1

2

)n-1，
若|S_n-n-2|＜

1

2014

，則(

1

2

)n-1＜

1

2014

，
即2^n-1＞2014，
則n-1≥11，
即n≥12，
故答案為：12

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算，利用構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵．