Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a1=

1

4

，an+1=Sn+

t

16

(n∈N*)t為常數(shù)．
（1）若t=4，求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）若t=-3，b_n=log₂a_n+1，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)n取何值時(shí)T_n取最小值，并求T_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用n≥2，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n與a_n-1的關(guān)系，利用等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）先判斷：數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可判斷其前n項(xiàng)和何時(shí)取得最大值與最小值．

解答：解：（ 1）t=4時(shí)，an+1=Sn+

1

4

，
n≥2時(shí)，an=Sn-1+

1

4

a_n+1=2a_n，
  又a2=

1

2

=2a1≠0，
∴

an+1

an

=2(n∈N*)
∴數(shù)列{a_n}是公比為2 的等比數(shù)列．
（2）若t=-3，a_n+1=2a_n，但a2≠2a1，且a2=

1

16

．
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列．an+1=a2•2n-1=2n-5，
∴bn=log22n-5=n-5．
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且b₁，b₂，b₃，b₄＜0，b₅=0，n≥6時(shí)，b_n＞0．
∴當(dāng)n=5或n=4時(shí)，T_n取最小值，最小值為-10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“n≥2，a_n=S_n-S_n-1關(guān)系”、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題．