Question

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），短軸長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且

F1P

⊥

F1Q

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸，且c=1，b=1，易得a²，可得橢圓C的方程；（2）驗(yàn)證l無(wú)斜率時(shí)，不滿足題意，當(dāng)直線l有斜率時(shí)設(shè)方程為y=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

消去y并整理可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由韋達(dá)定理可得x₁+x₂，x₁x₂，以及y₁y₂，由垂直可得

F1P

•

F1Q

=（x₁x₂+x₁+x₂+1）+y₁y₂=0，代入可得k的方程，解得k值，可得所求．

解答： 解：（1）由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸，且c=1，b=1，
∴a²=b²+c²=2，∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）當(dāng)直線l無(wú)斜率時(shí)，不滿足

F1P

⊥

F1Q

；
故可設(shè)直線l的斜率為k，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
可得且

F1P

=（x₁+1，y₁），

F1Q

=（x₂+1，y₂）
可得直線l的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立橢圓方程

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

消去y并整理可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²（x₁x₂-x₁-x₂+1）=

-k2

1+2k2

∵

F1P

⊥

F1Q

，∴

F1P

•

F1Q

=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
即（x₁x₂+x₁+x₂+1）+y₁y₂=0，∴

4k2

1+2k2

+

2k2-2

1+2k2

+1+

-k2

1+2k2

=0
解得k=±

7

7

，∴直線l的方程為y=±

7

7

（x-1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法和分類討論的思想，屬中檔題．