Question

如圖，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF為矩形，AC=BC．O為AB的中點(diǎn)，OF⊥EC．
（Ⅰ）求證：OE⊥FC；
（Ⅱ）若二面角F-CE-B的余弦值為-

1

3

時(shí)，求

AC

AB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)OC，則OC⊥AB，從而得到OC⊥OF，進(jìn)而得到OF⊥OE，由此能證明OE⊥FC．
（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨設(shè)AF=1，AB=2，取EF的中點(diǎn)為O，建立坐標(biāo)系，求出平面FCE的法向量、平面CEB的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合若二面角F-CE-B的余弦值為-

1

3

，求出k的值，即可求

AC

AB

的值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)OC，∵AC=BC，O是AB的中點(diǎn)，
故OC⊥AB．  
又∵平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．
又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，
∴OF⊥OE，
又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC；
（Ⅱ）解：由（I）得AB=2AF．不妨設(shè)AF=1，AB=2，取EF的中點(diǎn)為O，建立坐標(biāo)系，設(shè)OC=k，
則F（0，-1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），C（k，0，0），則

CE

=（-k，1，1），

EF

=（0，-2，0），
設(shè)平面FCE的法向量為

m

=（x，y，z），
則

-kx+y+z=0 -2y=0

．
∴

m

=（1，0，k），
∵

BE

=（0，0，1），

BC

=（k，-1，0），
∴同理可得平面CEB的法向量為

n

=（1，k，0），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

k2+1

=

1

3

，
∴k=

2

，
∴AC=

k2+1

=

3

，
∴

AC

AB

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查向量方法的運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．