Question

已知函數(shù)f（x）=x（lnx+mx）有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：f（x）=xlnx+mx²（x＞0），f′（x）=lnx+1+2mx．令g（x）=lnx+1+2mx，由于函數(shù)f（x）=x（lnx+mx）有兩個極值點?g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根．g′（x）=

1

x

+2m．當m≥0時，直接驗證；當m＜0時，利用導數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調性可得：當x=-

1

2m

時，函數(shù)g（x）取得極大值，故要使g（x）有兩個不同解，只需要g（-

1

2m

）＞0，解得即可．

解答： 解：f（x）=xlnx+mx²（x＞0），f′（x）=lnx+1+2mx．
令g（x）=lnx+1+2mx，
∵函數(shù)f（x）=x（lnx+mx）有兩個極值點，
則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根．
g′（x）=

1

x

+2m，
當m≥0時，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調遞增，
因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上不可能有兩個實數(shù)根，應舍去．
當m＜0時，令g′（x）=0，解得x=-

1

2m

．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜-

1

2m

，此時函數(shù)g（x）單調遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞-

1

2m

，此時函數(shù)g（x）單調遞減．
∴當x=-

1

2m

時，函數(shù)g（x）取得極大值．
當x趨近于0與x趨近于+∞時，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根，則g（-

1

2m

）=ln（-

1

2m

）＞0，解得0＜-m＜

1

2

．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-

1

2

，0）．
故答案為：（-

1

2

，0）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值，考查了等價轉化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．