Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F（0，1），直線l：y=-1，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)R，P分別作直線l₁，l₂，使得l₁⊥PF，l₂⊥l，l₁∩l₂=Q．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（2）設(shè)N為軌跡C上的動(dòng)點(diǎn)，是否在y軸上存在定點(diǎn)E，使得以NE為直徑的圓被直線y=3截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出定點(diǎn)E和弦長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意可得R是線段PF的中點(diǎn)，且QR⊥PF，可得|QP|=|QF|，由拋物線的定義可得：動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，即可得出軌跡C的方程．
（2）假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)E，使得以NE為直徑的圓被直線y=3截得的弦長(zhǎng)恒為定值．設(shè)以NE為直徑的圓被直線y=3截得的弦為GH，設(shè)N（x，y），E（0，t），則圓心為M(

x

2

，

t+y

2

)，圓心M到直線y=3的距離d=|

t+y

2

-3|．圓M的半徑R=

1

2

|NE|=

1

2

x2+(y-t)2

，及x²=4y，可得|GH|=2

R2-d2

=2

(4-t)y+3t-9

，令t=4，即可得出．

解答： 解：（1）由題意可得R是線段PF的中點(diǎn)，且QR⊥PF，
∴|QP|=|QF|，
∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，
∴軌跡C的方程為x²=4y．
（2）假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)E，使得以NE為直徑的圓被直線y=3截得的弦長(zhǎng)恒為定值．
設(shè)以NE為直徑的圓被直線y=3截得的弦為GH，
設(shè)N（x，y），E（0，t），則圓心為M(

x

2

，

t+y

2

)，
圓心M到直線y=3的距離d=|

t+y

2

-3|=

1

2

|t+y-6|．
圓M的半徑R=

1

2

|NE|=

1

2

x2+(y-t)2

，
∵x²=4y，
∴R=

1

2

4y+(y-t)2

，
∴|GH|=2

R2-d2

=2

1 4 [4y+(y-t)2]- 1 4 (t+y-6)2

=2

(4-t)y+3t-9

，
令t=4，則|GH|=2

3

為定長(zhǎng)，定點(diǎn)為E（0，4）．
因此在y軸上存在定點(diǎn)E（0，4），使得以NE為直徑的圓被直線y=3截得的弦長(zhǎng)為2

3

恒為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓的相交弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．