已知平面向量
a
=（sin
π
3
x，
3
），
b
=（1，cos
π
3
x），定義函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）圖象上的兩點M、N的橫坐標分別為和3，O為坐標原點，求△MON的面積．
考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（Ⅰ）依題意利用兩個向量的數(shù)量積公式求得函數(shù)f（x）=2sin（
π
3
x+
π
3
），由此可得f（x）的值域．
（Ⅱ）由f（x）=2sin（
π
3
x+
π
3
），求得f（1）和f（3），求得M、N的坐標，可得|OM|、|ON|、|MN|的值，根據(jù)余弦定理得cos∠MON=0，可得∠MON=
π
2
，由此求得
△MON的面積為 S=
1
2
•OM•ON 的值．
解答： 解：（Ⅰ）依題意得函數(shù)f（x）=
a
•
b
=sin
π
3
x+
3
cos
π
3
x=2sin（
π
3
x+
π
3
），
∴f（x）的值域為[-2，2]．
 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（
π
3
x+
π
3
），∴f（1）=
3
，f（3）=-
3
，
從而M （1，
3
）、N（3，-
3
），∴|OM|=2，|ON|=2
3
，|MN|=
(3-1)2+(-
3
-
3
)2
=4，
根據(jù)余弦定理得cos∠MON=
OM2+ON2-MN2
2OM•ON
=
4+12-16
2×2×2
3
=0，∴∠MON=
π
2
．
△MON的面積為 S=
1
2
•OM•ON=
1
2
×2×2
3
=2
3
．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的值域，余弦定理，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
e1
與
e2
是不共線向量，
a
=k
e1
+
e2
，
b
=
e1
+k
e2
，若
a
∥
b
且
a
≠
b
，則實數(shù)k的值為（　　）
A、0B、1C、-1D、±1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平行四邊形ABCD中，
.
BC
+
.
DC
+
.
BA
=（　�。�
A、
BC
B、
DA
C、
AB
D、
AC

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）的導函數(shù)f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）的導函數(shù)記為f″（x），若在區(qū)間（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“上凸函數(shù)”，已知f（x）=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2，若當實數(shù)m滿足|m|≤2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“上凸函數(shù)”，則區(qū)間（a，b）可以是（　�。�
A、（-1，3）
B、（0，1）
C、（-3，3）
D、（-3，1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=（3，2），
b
=（k，1），且
a
∥
b
，則k的值是（　�。�
A、
2
3
B、-
2
3
C、
3
2
D、-
3
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ax-1
lnx
（x＞0，x，1）．
（Ⅰ）當a=1時，求證：x＞1時，f（x）＞1；
（Ⅱ）已知函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間為（0，1）和（1，+∞），求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=x2+px+q，集合A={x|x=f（x）}，B={x|f[f（x）]=x}，
（1）求證：A⊆B；
（2）若集合A={-1，3}，求集合B．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，點M在線段AB上．
（1）若CM=
13
，求AM的長；
（2）若點N在線段MB上，且∠MCN=30°，求△MCN的面積最小值并求△MCN的最小面積時MN的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=
7
，C=
π
3
．
（1）若2sinA=3sinB，求a，b；
（2）若cosB=
3
10
10
，求sin2A的值．

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