已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），
c
=（1，-1），其中x∈[-
π
2
，
π
2
]．
（1）求證：（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=（|
a
+
c
|2-3）（|
b
+
c
|2-3），求f（x）的最大值和最小值．
考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系,三角函數(shù)的最值
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由題意可證（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=0，即可得結(jié)論；
（2）由題意可得
a
+
c
與
b
+
c
，進(jìn)而可得|
a
+
c
|2-3和|
b
+
c
|2-3的表達(dá)式，進(jìn)而可得f（x）=-8（sinx+
1
4
）2+
9
2
，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．
解答： 解：（1）由題意可得（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=
a
2-
b
2
=（cos2
3
2
x+sin2
3
2
x）-（cos2
x
2
+sin2
x
2
）=1-1=0；
∴（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）；
（2）由題意可得
a
+
c
=（cos
3
2
x+1，sin
3
2
x-1），
b
+
c
=（cos
x
2
+1，-sin
x
2
-1），
∴|
a
+
c
|2-3=（cos
3
2
x+1）2+（sin
3
2
x-1）2-3=2cos
3
2
x-2sin
3
2
x，
同理可得|
b
+
c
|2-3=2cos
x
2
+2sin
x
2
，
∴f（x）=（|
a
+
c
|2-3）（|
b
+
c
|2-3）
=（2cos
3
2
x-2sin
3
2
x）（2cos
x
2
+2sin
x
2
）
=4（cos
3
2
xcos
x
2
+cos
3
2
xsin
x
2
-sin
3
2
xcos
x
2
-sin
3
2
xsin
x
2
）
=4（cos2x-sinx）=-8sin2x-4sinx+4
=-8（sinx+
1
4
）2+
9
2

由二次函數(shù)的知識(shí)可知：
當(dāng)sinx=-
1
4
時(shí)，f（x）取最大值
9
2
，
當(dāng)sinx=1時(shí)，f（x）取最小值-8
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是定義在集合M上的函數(shù)，若區(qū)間D⊆M，且對(duì)任意x0∈D，均有f（x0）∈D，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上封閉．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x+
2x-1
在定義域上是否封閉，并說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)g（x）=
3x+a
x+1
在區(qū)間[3，10]上封閉，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求函數(shù)y=x2+x-1在區(qū)間[a，a+1]的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的兩焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，且PF1⊥PF2，已知|PF1|=3，|F1F2|=5，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABF，點(diǎn)F（2，0），點(diǎn)A，B分別在圖中拋物線y2=8x及圓（x-2）2+y2=16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總是平行于x軸，則△ABF的周長(zhǎng)的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x2-ax+5a(x≥2)
ax+5(x＜2)
（a為常數(shù)），
（1）對(duì)任意x1，x2∈R，當(dāng) x1≠x2時(shí)，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，求g（x）=x2-4ax+3在區(qū)間[1，3]上的最小值h（a）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x，g（x）=
1
2|x|
+2
（1）求函數(shù)g（x）的值域．
（2）當(dāng)f（x）=g （x）時(shí)，求2x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C的參數(shù)方程為
x=2+2cosθ
y=-
3
+2sinθ
（θ為參數(shù)）在直角坐標(biāo)系xoy中以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為（2，0），（
2
3
3
，
π
2
）．
（1）設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程；
（2）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=（1，1），
b
=（x，1），
u
=
a
+2
b
，
v
=2
a
-
b
．
（Ⅰ）若
u
∥
v
，求x；
（Ⅱ）若（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
），求x．

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