Question

14．已知鈍角三角形的三邊長度從小到大構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q²的取值范圍是$（\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}，\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}）$．

Answer 1

分析 由于鈍角三角形的三邊長度從小到大構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，因此可設(shè)此三邊為：1，q，q²（q＞1），則cosα=$\frac{1+{q}^{2}-{q}^{4}}{2q}$＜0，cosβ=$\frac{1+{q}^{4}-{q}^{2}}{2{q}^{2}}$＞0，1+q＞q²，解出即可得出．

解答 解：由于鈍角三角形的三邊長度從小到大構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，因此可設(shè)此三邊為：1，q，q²．（q＞1）．
則cosα=$\frac{1+{q}^{2}-{q}^{4}}{2q}$＜0，cosβ=$\frac{1+{q}^{4}-{q}^{2}}{2{q}^{2}}$＞0，1+q＞q²，
可得：q⁴-q²-1＞0，q⁴-q²+1＞0，q²-q-1＜0，（q＞1）．
解得q²＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，恒成立，$1＜q＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（即$1＜{q}^{2}＜\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）．
∴$\frac{1+\sqrt{5}}{2}＜{q}^{2}$＜$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$（\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}，\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}）$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、不等式的解法、余弦定理、三角形三邊大小關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．