Question

α，β是方程x²+ax+2b=0的兩根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a，b∈R，則

b-3

a-1

的最大值和最小值分別是

 

和

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由韋達定理和不等式的性質(zhì)易得∴a∈[-3，-1]，b∈[0，1]，而

b-3

a-1

表示區(qū)域ABCD內(nèi)的點與E（1，3）連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可得．

解答： 解：∵α，β是方程x²+ax+2b=0的兩根，
∴α+β=-a，αβ=2b，
∵α∈[0，1]，β∈[1，2]，
∴α+β∈[1，3]，αβ∈[0，2]，
∴a∈[-3，-1]，b∈[0，1]，
∴點（a，b）表示的區(qū)域為矩形ABCD及邊界（如圖），
而

b-3

a-1

表示區(qū)域ABCD內(nèi)的點與E（1，3）連線的斜率，
由圖象可知：當直線經(jīng)過點A（-1，0）時，直線的斜率最大為

3

2

，
當直線經(jīng)過點C（-3，1）時，直線的斜率最小為1，
故答案為：

3

2

；1

點評：本題考查選項規(guī)劃，涉及直線的斜率與不等式的性質(zhì)，準確作圖是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．