(本小題滿分13分)在平面直角坐標系中,橢圓
過點
和點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點在橢圓
上,
為橢圓的左焦點,直線
的方程為
.
(i)求證:直線與橢圓
有唯一的公共點;
(ii)若點關(guān)于直線
的對稱點為
,探索:當點
在橢圓
上運動時,直線
是否過定點?若過定點,求出此定點的坐標;若不過定點,請說明理由.
(1);(2)(i)詳見解析;(ii)定點坐標為
.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意,將和點
分別代入橢圓方程,即可得到關(guān)于
,
的方程組:
,
,從而可以解得
,
,即橢圓
的方程為
;(2)(ii)分析題意可知,要證直線
與橢圓
只有一個公共點,等價于將直線方程與橢圓方程聯(lián)立所得的方程組只有唯一的解,因此考慮將方程聯(lián)立,化簡變形可得
,易知其
,從而得證;(ii)由題意可知
為線段
的中垂線,因此利用線段
與直線
垂直以及線段
的中點在直線
上可求得點
的坐標為
,以下需分類討論列出直線
的解析式:當
時,直線
的斜率
,直線
的方程為
,即
,直線過定點
,當
時,
,此時
,直線
過點
,即可證明直線
恒過定點
.
試題解析:(1)∵,且
,∴
,
,∴橢圓
的方程為
.
(2)(i)聯(lián)立方程組,整理為
…①,
∵在橢圓
上,∴
,即
,∴方程①為
,即
,∴直線
與橢圓
有唯一的公共點; (ii)∵
,∴過點
且與
垂直的直線方程為
,
∵聯(lián)立方程組,∴
,∵
,且
,∴
點坐標為
,當
時,直線
的斜率
,
∵直線的方程為
,即
,∴直線過定點
,
當時,
,此時
,直線
過點
,綜上所述,直線過定點
.
考點:1.橢圓的標準方程;2.直線與橢圓的位置關(guān)系;3.直線中的對稱問題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年豫晉冀高三上學(xué)期第二次調(diào)研考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知F為拋物線 的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),
(其中O為坐標原點),則△AFO與△BFO面積之和的最小值是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年四川省宜賓市高三第一次診斷考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知單位向量和
的夾角為
,記
,
, 則向量
與
的夾角為 ( )
(A) (B)
(C)
(D)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年四川省宜賓市高三第一次診斷考試理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知是虛數(shù)單位,則
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年四川省宜賓市高三第一次診斷考試理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
給出下列三個命題:
①命題:
,使得
,則
:
,使得
② 是“
”的充要條件.
③若為真命題,則
為真命題.
其中正確命題的個數(shù)為( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年四川省高三一診模擬文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù),且
,給出下列命題:
①;
②;
③;
④當時,
.
其中所有正確命題的序號為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年四川省高三一診模擬文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
為坐標原點,點
的坐標為
,若點
的坐標滿足
,則
的最
大值為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年四川省高三一診模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
一個幾何體的三視圖如圖所示,其中網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為,則該幾何體的體積為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年山西省高三第四次診斷考試理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè),函數(shù)
,則
的值等于( )
A. B.
C.
D.
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