分析 (1)由an+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$(n∈N*),兩邊取倒數(shù)可得:$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2.即可證明.
(2)bn=anan+1=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$.利用裂項求和方法即可得出.
解答 (1)證明:由an+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$(n∈N*),兩邊取倒數(shù)可得:$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2.
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列,公差為2,首項為1.
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1=2(n-1)=2n-1.
∴an=$\frac{1}{2n-1}$.
(2)解:bn=anan+1=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$.
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=$\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$+…+$(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})]$
=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$
=$\frac{n}{2n+1}$.
點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、裂項求和方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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