已知長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分別為AD和CC1的中點，O1為下底面正方形的中心。
（Ⅰ）證明：AF⊥平面FD1B1；
（Ⅱ）求異面直線EB與O1F所成角的余弦值；               
（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）
本題考查空間的線面關(guān)系，向量法及其運算。
（Ⅰ）證法一：如圖建立空間直角坐標系。則D1（0，0，0）、O1（2，2，0）
B1（4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、
F（0，4，4）。            
=（-4，4，-4），=（0，4，4），
=（-4，0，4）          
=0+16-16=0，=16+0-16=0
∴AF⊥平面FD1B1.            
證法二：連結(jié)BF、DF，則BF是AF在面BC1上的射影，易證得BF⊥B1F，
DF是AF在面DC1上的射影，也易證得DF⊥D1F，所
以AF⊥平面FD1B1.
（Ⅱ）解法一：=（2，4，0），=（-2，2，4）  
設(shè)與的夾角為，則
=……
解法二：在B1C1上取點H，使B1H=1，連O1H和FH。
易證明O1H∥EB，則∠FO1H為異面直線EB與F所成角。
又O1H=BE=，HF==5，
O1F==2，
∴在△O1HF中，由余弦定理，得

cos∠FO1H==
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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一個簡單多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，它的主視圖和側(cè)視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，俯視圖為正方形，E是PD的中點.
（1）求證:；
（2）求證:；             
（3）求三棱錐的體積.

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四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；
（2）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

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已知四棱錐P－ABCD，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PC長為2，且PC⊥底面ABCD，E是側(cè)棱PC上的動點。
（Ⅰ）不論點E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求點C到平面PDB的距離；
（Ⅲ）若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大�。�

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如圖，在四棱錐中，底面為正方形，且平面，，、分別是、的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B－CE－F的大�。�

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在正三棱柱ABC－A1B1C1中，點D在邊BC上，AD⊥C1D．
（1）求證：AD⊥平面BC C1 B1；
（2）設(shè)E是B1C1上的一點，當的值為多少時，
A1E∥平面ADC1？請給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面邊長和側(cè)棱長都等于2，平面A1ACC1⊥平面ABCD，∠ABC＝∠A1AC＝60°，點O為底面對角線AC與BD的交點.
（Ⅰ）證明：A1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D—A1A—C的平面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點。
(Ⅰ)求證：EF∥平面SAD；
(Ⅱ)設(shè)SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大�。�
 

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在邊長為a的正方形ABCD所在平面外取一點P，使PA⊥平面ABCD，且PA=AB，在AC的延長線上取一點G。 
（1）若CG=AC，求異面直線PG與CD所成角的大�。�
（2）若CG=AC，求點C到平面PBG的距離；

（3）當點G在AC的延長線上運動時（不含端點C），求二面角P-BG-C的取值范圍。

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