Question

某公司為一家制冷設備廠設計生產一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，ABCD(AB>AD)為長方形薄板，沿AC折疊后，AB′交DC于點P.當△ADP的面積最大時最節(jié)能，凹多邊形ACB′PD的面積最大時制冷效果最好．

(1)設AB＝x(米)，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；

(2)若要求最節(jié)能，應怎樣設計薄板的長和寬？

(3)若要求制冷效果最好，應怎樣設計薄板的長和寬？

 

Answer 1

（1）y＝2(1－)，1<x<2.

（2）長為米，寬為(2－)米時，節(jié)能效果最好

（3）薄板長為米，寬為(2－)米時，制冷效果最好

【解析】【解析】
(1)由題意，AB＝x，BC＝2－x.

x>2－x，故1<x<2.

設DP＝y，則PC＝x－y.

又△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.

由PA2＝AD2＋DP2，

得(x－y)2＝(2－x)2＋y2，

y＝2(1－)，1<x<2.

(2)記△ADP的面積為S1，

則S1＝(1－)(2－x)＝3－(x＋)≤3－2，

當且僅當x＝∈(1,2)時，S1取得最大值．

故當薄板長為米，寬為(2－)米時，節(jié)能效果最好．

(3)記凹多邊形ACB′PD的面積為S2，

則S2＝x(2－x)＋(1－)(2－x)＝3－(x2＋)(1<x<2)，

于是S′2＝－ (2x－)＝＝0，得x＝.

關于x的函數S2在(1，)上單調遞增，在(，2)上單調遞減，所以當x＝時，S2取得最大值．

故當薄板長為米，寬為(2－)米時，制冷效果最好．