Question

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．

(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處有極值10，求b的值；

(2)若對于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上單調(diào)遞增，求b的最小值．

 

Answer 1

（1）b＝－11 （2）

【解析】【解析】
(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

于是，根據(jù)題設(shè)有，

解得或.

當時，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函數(shù)有極值點；

當時，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函數(shù)無極值點．

所以b＝－11.

(2)由題意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，

所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．

因為x≥0，

所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)或為常數(shù)函數(shù)，

①當F(a)為常數(shù)函數(shù)時，F(xiàn)(a)＝b≥0；

②當F(a)為增函數(shù)時，F(xiàn)(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0，

即b≥(－3x2＋8x)max對任意x∈[0,2]都成立，

又－3x2＋8x＝－3(x－)2＋≤，

所以當x＝時，(－3x2＋8x)max＝，所以b≥.

所以b的最小值為.