Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足：
（1）函數y=f（x）的圖象關于原點對稱；
（2）對任意的實數x，都有f（x+3）=f（x）成立；
（3）當x∈[0，

3

2

]時，f（x）=

3

2

-|

3

2

-2x|，
則方程f（x）=

1

|x|

在[-4，4]上根的個數是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：由題意可得函數f（x）是奇函數，是周期等于3的周期函數，則f（x）=

1

|x|

在[-4，4]上根的個數，就是函數f（x） 與函數 y=

1

|x|

的交點的個數，結合圖象得出結論．

解答： 解：∵1）函數y=f（x）的圖象關于原點對稱；
∴f（x）是奇函數；
∵f（x+3）=f（x）成立，∴f（x）是周期等于3的周期函數．
當x∈[0，

3

2

]時，f（x）=

3

2

-|

3

2

-2x|=

2x，0≤x≤ 3 4 3-2x， 3 4 ＜x≤ 3 2

，
則f（x）=

1

|x|

在[-4，4]上根的個數就是函數f（x） 與函數 y=

1

|x|

的交點的個數，如圖所示：

故答案為：5

點評：本題考查了函數的奇偶性、周期性以及方程的根與函數圖象交點的關系；考查數形結合解決方程根的個數問題．此類問題經�？疾椋�注意掌握．